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  1. #1
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    Anteil gerader Nummern an natürlichen Zahlen

    So weil hier ja eh nix geht, möchte ich mich gerne überzeugen lassen wieso die Antwort 1 / 100% ist.

    Beide sets sind unendlich und ich hab wohl beim Googlen das so grob verstanden wieso die Cardinalität der Sets gleich ist bzw das was mit bijektivät zu tun hat, aber irgendwie bin ich unglücklich.

    Intutive seh ich für jede gerade Zahl 2 natürlich zahlen also sollte es 0.5 sein.

    Wenn ichs brute froce machen würde bleibts auch 0.5 bis zu ner Millionen Zahlen. Beim Anteil von Zahlen mit Ziffer drei unter den natürlichen Zahlen scheint es auch mit brute force auf 1 zu konvergieren. Enjoy my dumheit.
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  2. #2
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    edit: Sorry, hab mich verwirren lassen von dem 1 / 100%, das / heißt für mich geteilt

    Es gibt verschiedene Begriffe, mit denen man die Größe von Mengen messen kann. Zum Beispiel gibt es Maße, etwa das Lebesgue Maß, dass (die messbaren) Teilmengen der reellen Zahlen misst.
    Das hat zum Beispiel die Eigenschaft , dass das Intervall (0,1) das Maß 1 hat (entspricht der Länge), das Intervall (0,2) hat dagegen das Maß 2, also ist das Intervall (0,2) in diesem Sinne größer. Es gibt aber auch ganz andere Maße, das ist also nur eine Frage welches Maß du nimmst

    Ein anderer Begriff ist die Kardinalität von Mengen. Diese ist per Definition so, dass Mengen die gleiche Mächtigkeit haben, wenn sie bijektiv aufeinander abgebildet werden.
    Die geraden Zahlen (ich zähle 0 mit) lassen sich bijektiv auf die ungeraden Zahlen abbilden mit der Abbildung n |--> n + 1. Also haben beide Mengen die gleiche Kardinalität.
    Die Menge der geraden Zahlen kann aber auch bijektiv auf die Menge der natürlichen Zahlen abgebildet werden durch die Abbildung n |--> n/2. Auch die rationalen Zahlen haben die gleiche Kardinalität wie die natürlichen oder die ganzen. Nachdem einmal unendlich erreicht ist, misst die Kardinalität nur noch "Unendlichkeitsstufen". Ein "doppelt so viel" gibt es bei der Kardinalität dann gar nicht mehr (nur bei endlichen Mengen). Von daher ist das kein sinnvoller Begriff.
    Hier von einem Verhältnis 1 bzw 100% zu sprechen, passt nicht. Auf dem Auge ist die Kardinalität sozusagen einfach blind.

    Wenn du jetzt nach dem Anteil der geraden Zahlen in den natürlichen Zahlen fragst, kann ich nur zurück fragen, Anteil in welchem Sinn? Der Kardinalitätsbegriff liefert hier wie gesqgt keine sinnvolle Antwort, die Kardinalität von allen beteiligten Mengen ist abzählbar unendlich. Da kann man ja kein Verhältnis draus bilden.
    Du kannst zu jeder Zahl x aus [0,1] ein Maß auf den natürlichen Zahlen finden, so dass das Maß aller natürlichen Zahlen 1 ist und das Maß der geraden Zahlen x. Ist also nur eine Frage, welches Maß du nimmst. Das natürliche zählende Maß ist leider kein endliches Maß, das kann nicht direkt verwenden.
    Du könntest auch das folgende machen. Du betrachtest Limes für n gegen unendlich von
    Anzahl gerader Zahlen in [0,n] geteilt durch Anzahl der ganzen Zahlen in [0,n]. Da kommt dann 1/2 raus.
    Geändert von SvenGlueckspilz (04. November 2015 um 18:14 Uhr)

  3. #3
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    omg ich meinte der Anteil wäre 1 bzw. 100 %,

    es geht um alle gerade oder ungeraden zahlen und ihr verhältnis zu allen natürlichen Zahlen, sonst lies halt den Link.
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  4. #4
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    Ich hatte es ja nun schon geändert ^^
    Welcher Link btw?

  5. #5
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    http://math.stackexchange.com/questi...atural-numbers

    ich fands btw mal wieder lustig hier was zu diskutieren, nachdem wir schon mit dog die Diskussion über 0.Periode9 = 1 hatten. Ist mehr so ein Brain teaser.


    Ich dachte in [0,1] aus R sind mehr Zahlen als in N?
    Geändert von Benrath (04. November 2015 um 21:54 Uhr)
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  6. #6
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    Bei unendlichen Mengen ist es halt erstmal nicht so klar, was es heißt, dass eine Menge mehr Elemente als eine andere hat. Man muss halt DEFINIEREN, was man damit meint. Bei endlichen Mengen kann man das im Prinzip ohne das Konzept der Zahlen machen. Wenn du eine Menge Äpfel hast und eine Mengen Birnen, dann kannst du solange jeweils einen Apfel neben eine Birne legen, bis entweder beide aufgebraucht sind (dann sind es gleich viele) oder nur noch partnerlose Birnen übrig sind (dann sind es mehr Birnen) oder nur noch partnerlose Äpfel da sind... Und dieses Konzept würde man durch die Kardinalität verallgemeinern, indem man sagt, zwei Mengen sind gleich mächtig, wenn sie bijektiv aufeinander abgebildet werden können. Wenn eine Menge A injektiv in eine Menge B abgebildet werden kann, dann ist B mindestens so mächtig wie A oder alternativ, wenn eine Menge A surjektiv auf eine Menge B abgebildet werden kann,
    dann ist A mindestens so mächtig wie B.
    Wenn A injektiv in B abgebildet werden kann, aber nicht bijektiv auf B abgebildet werden kann, dann ist A mächtiger als B usw.
    Das entspricht im Prinzip dem nebeneinanderlegen, aber mit einem Unterschied. Wenn ich auf eine Art und Weise nebeneinanderlege und es bleiben Element von B übrig, dann heißt das noch nicht, dass es mehr von B gibt, weil es könnte noch eine andere Art und Weise geben, nebeneinanderzulegen, wo das nicht passiert.
    Beispiel: Wenn ich die natürlichen Zahlen einfach so in die ganzen Zahlen reinlege (also die Menge deer natürlichen Zahlen injektiv in die ganzen Zahlen abbilde durch n |--> n), dann bleiben ganze Zahlen übrig. Aber wenn ich die folgende Abbildung betrachte: n |-->-n/2, falls n gerade und
    n |-->(n-1)/2, falls n ungerade, dann ist die Abbildung bijektiv, ich kann also neben jede ganze Zahl genau eine natürliche legen. Ob das jetzt heißt, dass es genauso viele ganze wie natürlich gibt, ist eher eine philosophische Frage.

    Ja, es gibt mehr reelle Zahlen in [0,1] als alle natürliche Zahlen im Sinne der Kardinalität. Man kann die natürlichen Zahlen injektiv in [0,1] hinein abbilden, zum Beispiel durch 0 |--> 0 und n |--> 1/n für alle n ungleich 0. Aber man kann die natürlichen Zahlen nicht bijektiv auf [0,1] abbilden. Die Kardinalität von [0,1] ist ein größeres unendlich als die von den natürlichen.
    Alle Mengen die die Kardinalität von N haben, sind abzählbar unendlich, [0,1] ist überabzählbar.

    Auch im Sinne des Lebesguemaßes sind mehr in [0,1], das Maß der natürlichen Zahlen ist Null.

    Ja ist schade, dass hier nicht mehr los ist. Manche Diskussionen sind zwar zum verzweifeln, aber dann auch wieder lustig ^^
    Geändert von SvenGlueckspilz (04. November 2015 um 23:15 Uhr)

  7. #7
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    Wie Sven schon sagte, du hast keine wohlformulierte frage gestellt. Du versuchst im Prinzip zwei Endlichkeiten durcheinander zu teilen, da kann naturgemäß nichts eindeutiges rauskommen wenn du keinen klaren limes definierst. So einfach ist das.

  8. #8
    Die übliche Definition zum "Anteil an den natürlichen Zahlen" wurde doch schon gegeben:
    Zitat Zitat von SvenGlueckspilz Beitrag anzeigen
    Du könntest auch das folgende machen. Du betrachtest Limes für n gegen unendlich von
    Anzahl gerader Zahlen in [0,n] geteilt durch Anzahl der ganzen Zahlen in [0,n]. Da kommt dann 1/2 raus.
    Das verhält sich auch so wie man es erwartet, also 1/n für die durch n teilbaren Zahlen, 0 für den "Anteil" der Primzahlen oder der Quadratzahlen, das ganze ist additiv und so weiter.

  9. #9
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    das andere Denkbeispiel war für Zahlen die 3 als Ziffer enthalten und da konvergiert es eher auf 1, wenn ichs per Hand mache.
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  10. #10
    Ja, tut es. Bei Zahlen mit bis zu n Stellen haben nur (9/10)^n keine 3 im Dezimalsystem, der Anteil geht offensichtlich gegen 0.

    Gibt natürlich auch paar hässliche Beispiele: Der "Anteil" der Zahlen, die mit einer 1 beginnen, konvergiert nicht, der Anteil an den ersten N Zahlen schwankt zwischen 1/9 (bei 9999....) und 11/20 (bei 1999...)
    Geändert von mfb (14. November 2015 um 14:46 Uhr)

  11. #11
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    tja mich hattes halt überascht, hätte auch hier intuitive gedacht, dass die Menge der Zahlen ohne 3 "unendlicher" ist als die Menge der Zahlen mit ner 3. Das beide MEngen unendlich sind etc war mir schon bewusst.
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