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  1. #1
    Benutzerbild von FORYOUITERRA
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    Supremum von zwei Funktionen abschätzen

    der tag ist lang, vor einigen monaten hatte ich das problem schonmal, nun sehe ich jedoch die lösung nicht mehr und grübel nun schon wieder mehrere stunden über die scheiß ungleichung.

    vielleicht kann mich einer wieder auf die richtige spur lenken.


    f ist eine stetige funktion über der kompakten Menge S (teilmenge der reellen zahlen).
    g ist eine weitere (stetige) funktion. ich weiß, dass f(s*) = sup_{s\in S}f(s) >0
    sowie sup_{s \in S} |g(s)-f(s)|< eps für ein (kleines) eps>0 gilt.

    zu zeigen ist:
    sup_{s\in S}|g(s)| ≤ f(s*) +eps



    -----------
    ich verzweifele gerade an der blöden ungleichung. irgendwie muss man ja zeigen, dass sup|g| - |sup f| = sup|g| - sup(f) < eps gilt.

    - f und g sind stetig, somit beschränkt auf S. damit gilt z.B. sup(f+g) ≤ sup(f)+sup(g) aber auch |sup f+g| ≤ sup|f+g| (und somit

    Ansatz 1:
    folgende ungleichungen sollten gelten:
    sup(g)-sup(f) ≤ sup(g-f) ≤ |sup(g-f)| ≤ sup|g-f| < epsilon

    hiermit komme ich sup(g) < f(s*) + epsilon allerdings eben nicht auf sup|g|<f(s*) + epsilon

    Ansatz 2:
    es gilt natürlich die dreiecksungleichung für die supremumsnorm:
    sup|g|-sup|f|≤ |sup|g|-sup|f|| ≤ sup|g-f| <epsilon
    somit
    sup|g|< epsilon + sup|f|

    => problem: sup|f| ≥ f(s*).

    beide ansätze führen also bei mir nicht so richtig zum erfolg. hat wer ne idee oder sieht meinen fehler?
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  2. #2
    Gegenbeispiel: Sei S=[-2,1], f(s)=g(s)=s

    f(s*) = sup_{s\in S}f(s) >0 - erfüllt, 1>0.
    sup_{s \in S} |g(s)-f(s)|< eps - erfüllt, die Funktionen sind identisch und 0<eps.

    sup_{s\in S}|g(s)| ≤ f(s*) +eps - nicht erfüllt, die linke Seite ist 2 und die rechte 1+eps.

  3. #3
    Benutzerbild von FORYOUITERRA
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    dankeschön. kann zu.
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  4. #4
    Benutzerbild von SvenGlueckspilz
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    Falls f überall positiv sein sollte, dann stimmt es:
    |g(s)| = |g(s) - f(s) + f(s)| <= |g(s) - f(s)| + |f(s)| = |g(s) - f(s)| + f(s) < eps + f(s)
    Also |g(s)| <= f(s) + eps
    Jetzt das Supremum auf beiden Seiten nehmen und dann steht es da.

    Wenn f beide Vorzeichen haben darf, geht es nicht (siehe mfb).

    Meistens ist es übrigens eine bessere Strategie, erstmal ohne das Supremum zu rechnen und am Ende das Supremum zu nehmen, wie ich es gemacht habe. Und nicht nur, weil es weniger Schreibaufwand ist. Man muss sonst bei der Rechnung auch bei jedem Schritt wesentlich vorsichtiger sein und genauer überlegen.

  5. #5
    Benutzerbild von FORYOUITERRA
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    ...ich bräuchte vermutlich nen eigenes mathetopic 8[. nehme ich das hier und frag mich mal weiter durch den mathewurst.


    sei f eine stetige funktion über einen kompakten teilmenge I=[-b,b] von R.
    für alle x in I sind die linksseitigen und rechtsseitigen ableitungen beschränkt (wenn das nicht ausreicht: die funktion für die ich mich interessiere ist darüber hinaus sogar an allen stellen bis auf x in {c_1,...,c_k} differenzierbar und es gilt sogar f(c_i)=0 für alle i.)
    ist f dann auch lipschitz auf dem gesamten intervall I?


    Nimmt man an, dass die funktion auf (-b,b) differenzierbar ist (bis auf die stellen c_1,...,c_k), dann ist sie auf jedem teilteilintervall I_1:= [-b,c_1], I_2:= [c_1,c_2], ... , I_k:=[c_k,b] lipschitz aufgrund des mittelwertsatzes.
    folgt draus, dann schon dass die funktion dann auf dem gesamten intervall [-b,b] lipschitz ist? wie?!


    als einfaches beispiel, dass es nicht ganz verblödet ist diesesmal:
    |x| ist bekanntlich lipschitz, was schon direkt aus der dreiecksungleichung folgt.

    Allerdings sind für alle x in einem kompakten intervall I die rechtseitigen und linksseitigen ableitungen ja auch beschränkt und die funktion ist sogar überall bis auf die stelle x=0 diffbar => meine annahmen wären auch erfüllt. meine hoffnung ist, dass sich das auch damit zeigen lässt.



    edit:
    die stellen wo die ableitung nicht existiert haben ein Lebesgue-Maß von 0. folgt das ganze dann nicht schon aus dem fundamentalsatz der analysis?
    konkreter gilt dann nicht schon das hier?
    definiere g(s)= f(x-s(x-y)) dann ist g(1) = f(y) und g(0)=f(x). dann gilt:

    |f(y)-f(x)| = |\int_0^1 g'(s) ds| <= int_0^1 |f'(x-s(x-y))|ds * |x-y| <= L |x-y|

    da f'(x-s(x-y)) bis auf abzählbar viele stellen existiert und zudem beschränkt ist.


    edit2:

    http://math.stackexchange.com/questi...-and-lipschitz - die antwort gibt hinreichende bedingungen an.

    (=> leider ohne quelle/beweis. hat wer ne quelle oder kann es bestätigen?)

    ich weiß zwar nicht genau, was "piecewise smooth" exakt bedeutet, aber ich gehe davon aus, dass f dafür
    a) stetig sein muß (stückweise reicht wohl nicht aus )
    und
    b) die ableitungen fast überall existieren müssen, fast überall stetig sind und an den problemstellen immerhin die einseitigen ableitungen beschränkt sein müssen.
    => hat wer die richtige definition?
    (bei mir wäre f auf I piecewise smooth und damit lipschitz auf I. dennoch: beschränkte rechtseitig- und linksseitige ableitungen ist ja theoretisch noch ne schwächere bedinung als f' existiert und ist stückweise stetig sowie beschränkt auf den intervallen, reichen meine annahmen?!)

    edit3: hinreichende bedingungen für hölder bedingung wären auch ausreichend
    Geändert von FORYOUITERRA (28. Juni 2016 um 15:39 Uhr)
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  6. #6
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    Zitat Zitat von FORYOUITERRA Beitrag anzeigen
    ...ich bräuchte vermutlich nen eigenes mathetopic 8[. nehme ich das hier und frag mich mal weiter durch den mathewurst.
    Ich kann den Titel hier gerne ändern, wenn du das willst
    Wenn man einen auf dicke Hose macht, sollte man auch bereit sein, sie danach runterzulassen.

    Zitat Zitat von Brusko652
    schade dass mein kommentar gelöscht wurde, das hat eigentlich ganz gut meine Meinung wiedergespiegelt.

  7. #7
    Benutzerbild von FORYOUITERRA
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    nee, besser nicht. peinlichkeit am rise sonst. kann lieber hier ingoknito bleiben :trollface:.
    werden aber in den nächsten tagen noch paar stupide fragen zusammenkommen, die ich irgendwann mal einfach so geschluckt hatte.

    z.Z.:
    f(x)=|x|^p ist für 0<p<1 subadditiv.

    für x \geq 0 ist das ganze kein problem: auf f ist auf [0,c] konkav mit f(0)=0 und somit auf [0,c] auch subbaditiv.
    wie kann ich das resultat nun auf ganz R rüberziehen?

    (hint an mich: theorem (27), inequalitiy (2.12.2) in Hardy, Littlewood, Polya's "Inequalities")

    edit: lösung ist trivial.
    g(x)=(x)^p ist auf R+ streng monoton steigend. somit:
    f(x+y)= g(|x+y|) <= g(|x|+|y|) <= g(|x|) + g(|y|) = f(x)^p + f(y)^p

    erste ungleichung nutzt aus, dass die funktion steigend ist, die zweite dann die subadditivitität auf R+.
    Geändert von FORYOUITERRA (28. Juni 2016 um 18:08 Uhr)
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  8. #8
    piecewise = stückweise.
    smooth sollte glatt sein, eine stärkere Forderung als du hast.

    Stetig überall, diffbar überall bis auf eine endliche (oder vermutlich auch abzählbar unendliche) Teilmenge und beschränkte Ableitungen reichen auf jeden Fall aus für Lipschitz-Stetigkeit, und Fundamentalsatz der Analysis ist ein schöner Ansatz um das zu zeigen.

  9. #9
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    Den Fundamentalsatz, zumindest wie er hier gegeben ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Fundam...z_der_Analysis ,
    kann man nur anwenden, wenn die Funktion, auf die er angewendet wird, differenzierbar auf dem ganzen Intervall ist. Dazu bräuchte man hier, dass in den Punkten c_1, ..., c_k die Funktion zumindest von beiden Seiten einseitig differenzierbar ist. Es gibt natürlich auch allgemeinere Versionen vom Satz mit Absolutstetigkeit und so, aber die habe ich gerade nicht im Kopf. Ich glaube man müsste für die fordern, dass eine Funktion f:[a,b] -> R zumindest absolutstetig sein muss, damit man f mit dem Hauptsatz ausdrücken kann.

    Der Mittelwertsatz ist hier denke ich etwas mächtiger, da kann sogar auf die einseitige Differenzierbarkeit in den Ausnahmepunkten verzichtet werden.
    Mit dem Mittelwertsatz kann man es dann zusammensetzen, was ich bei Bedarf gerne demonstrieren kann.

    piecewise smooth = stetig auf dem ganzen Intervall und stetig diffbar auf den *abgeschlossenen* Teilintervallen, wobei es nur endlich viele Teilintervalle geben sollte. Wenn man ein kompaktes Intervall in abzählbar viele Teilintervall zerlegt, würde man das glaube ich nicht piecewise smooth nennen. Das betrifft jetzt nur die Namensgebung.

    Hinreichend sollte auf jeden Fall sein:
    f ist stetig auf [a,b], und es gibt endlich viele c_0, ..., c_k, so dass f auf (c_j, c_(j+1)) stetig differenzierbar ist und es gibt ein M > 0 so dass
    |f'(x)| <= M für alle x in denen f' differenzierbar ist.
    Das ist dann nichtmal piecewise smooth, weil ich nicht die einseitige Differenzierbarkeit in den Problempunkten gefordert habe.

    Eine weitere Verallgemeinerung wäre: (ich rede hier nicht über Unterteilungspunkte wegen Anordnungsproblemen)
    f ist stetig auf [a,b] und es gibt abzählbar viele disjunkte offene Intervalle I_k, so dass [a,b] \ Vereinigung I_k abzählbar ist
    und f auf allen I_k differenzierbar ist und es gibt außerdem ein M>0, so dass
    |f'(x)| < M für alle x in denen f differenzierbar ist. Zeigen kann man das mit dem MIttelwertsatz (der Differentialrechnung).

    Am allgemeinsten ist natürlich die if and only if Charakterisierung aus dem stackexchange link, aber um die nachzuprüfen musst du dann erstmal die Absolutstetigkeit prüfen, die ja mehr ist, als die Stetigkeit.

  10. #10
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    danke schön, irgenwas von den punkten ist bei mir also auf jeden fall was erfüllt

    Zitat Zitat von SvenGlueckspilz Beitrag anzeigen
    Der Mittelwertsatz ist hier denke ich etwas mächtiger, da kann sogar auf die einseitige Differenzierbarkeit in den Ausnahmepunkten verzichtet werden.
    Mit dem Mittelwertsatz kann man es dann zusammensetzen, was ich bei Bedarf gerne demonstrieren kann.
    ich sehe selbst nicht direkt, wie man aus der zerlegung von I in die disjunkten Teilintervalle I_i, i=1,...,k, , auf denen der mittelwertsatz gilt, wieder auf den gesamten Definitionsbereich I kommt, wenn der beweis nicht zuviel schreibarbeit ist, wäre ich definitiv interessiert.

    (siehe auch deine letze anmerkung zur weiteren verallgemeinerung, die ja auch in eine ähnliche richtugn geht)


    piecewise smooth = stetig auf dem ganzen Intervall und stetig diffbar auf den *abgeschlossenen* Teilintervallen, wobei es nur endlich viele Teilintervalle geben sollte. Wenn man ein kompaktes Intervall in abzählbar viele Teilintervall zerlegt, würde man das glaube ich nicht piecewise smooth nennen. Das betrifft jetzt nur die Namensgebung.
    => f(x)=|x| also piecewise smooth auf [-b,b], da 1.) f(x) ist stetig auf [-b,0] sowie [0,b] und 2. auf [-b,0] ist f'(x)=-1 stetig und auf [0,b] ist f'(x)=1 stetig?


    die funktion f(x)= x-(x-1)*ln(1-x) (falls 0\leq x<1) sowie f(x) = x für 1 <= x <=2
    ist hingegen nicht stückweise smooth, da:
    1.) sie ist zwar stetig
    aber
    2.) auf dem Intervall [0,1] ist f'(x)= -ln(1-x) und lim_{h->0, h<0} f'(x+h) = unendlich
    => grenzwert existiert nicht, somit ist die funktion nicht mehr (überall) diffbar auf [0,1]

    => mit anderen worten: die ableitung einer piecewise smooth function darf nur endlich viele und endlich große sprungstellen haben.


    Hinreichend sollte auf jeden Fall sein:
    f ist stetig auf [a,b], und es gibt endlich viele c_0, ..., c_k, so dass f auf (c_j, c_(j+1)) stetig differenzierbar ist und es gibt ein M > 0 so dass
    |f'(x)| <= M für alle x in denen f' differenzierbar ist.
    Das ist dann nichtmal piecewise smooth, weil ich nicht die einseitige Differenzierbarkeit in den Problempunkten gefordert habe.
    kommt da nicht hinterrücks durch grenzwertbetrachtungen bei den randpunkten wieder sowas wie eine einseitige (beschränkte) differenzierbarkeit hinterrücks rein (bei mir reicht es aber ohnehin diese anzunehmen, da man die beschränktheit der einseitigen ableitungen an den problemstellen ziemlich leicht zeigen kann).
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  11. #11
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    okay: ich sehe es vielleicht doch.

    gezeigt habe ich: f(x) ist lipschitz auf jeden Teilintervall I_1,..., I_k:

    wähle x \in I_i und y in I_j; (wenn i=j, dann ist es lipschitz) obda sei i<j.
    dann existiert ein k so dass gilt:
    x <= c_{i+1} < c_{i+2} < ... <c_{k} <= y

    und somit, mit L = maximum der lipschitz-konstanten für jedes Teilintervall:

    |f(x)-f(y)| = |f(x) -f(c_{1+1}) + f(c_{1+1}) - f(c_{1+2}) + ... -f(c_{k}) + f(c_{k}) - f(y)|
    <= L(|x-c_{i+1}| + |c_{i+1}-c_{i+2}| +...+ |c_{k}-y|)
    = L(|c_{i+1}-x| + |c_{i+2}-c_{i+1}-| +...+ |y-c_{k}|)
    = L( c_{i+1}-x + c_{i+2}-c_{i+1} - c_{i+2} + ... -c_{k} + c_{k} - y)
    = L( y-x ) = L|y-x|


    (ich glaube man braucht dafür dennoch noch, dass die einseitigen grenzwerte an den problemstellen existieren, also beschränkt sind)
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  12. #12
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    Haben wir hier eigentlich keinen Latexeditor integriert? Das zu lesen ist echt hart

    Ich fang mal mit einer Bemerkung zum letzten Satz an den du geschrieben hast:
    "(ich glaube man braucht dafür dennoch noch, dass die einseitigen grenzwerte an den problemstellen existieren, also beschränkt sind)"
    Betrachte die Funktion sin(1/x). Die ist in der Umgebung von x = 0 beschränkt, der Grenzwert in x = 0 existiert trotzdem nicht, auch nicht einseitig, weil das oszilliert. Die kann man nichtmal zeichnen, weil dadurch bedingt die Kurve unendlich lang wird, aber das nur Nebenbei.
    Eine Ableitung kann auch oszillieren, ohne dabei unbeschränkt zu werden.
    In dem Zusammenhang solltest du dir auch drüber klar werden, was es heißen soll, wenn du sagst
    "beschränktheit der einseitigen ableitungen an den problemstellen"
    Ehrlich gesagt ergibt das keinen Sinn für mich.

    Der Mittelwertsatz ist deswegen gut, weil der die Diffbarkeit nur im inneren braucht. Genauer:
    wenn f auf [a,b] stetig und auf (a,b) diffbar ist, dann gibt es ein xi in (a,b) so dass f(b) - f(a) = f'(xi) * (b-a). Die Differenzierbarkeit in a oder in b brauchte man dafür nicht.

    Zu den Beispielen: Ja |x| ist piecewise smooth oder deutsch: stetig und stückweise stetig diffbar.

    Das zweite Beispiel mit dem Logarithmus ist tatsächlich nicht piecewise smooth. Aber zu dem Schlusssatz an der Stelle: Dazu müsste sie nicht überall differenzierbar sein. Aber sie müsste auf den Unterteilungsintervallen differenzierbar sein. Zum Beispiel f(x) = |x| ist auf [-b,0] diffbar und auf
    [0,b] aber nicht auf [-b,b]

    Ich schreib den Beweis nochmal exemplarisch für den Fall, dass das Intervall nur in zwei Intervalle zerfällt, auf der die Funktion glatt ist.
    Also sei f auf [a,b] = [a,c] u [c,b] stetig und auf (a,c) und auf (c,b) differenzierbar und es gelte |f'(x)| < M für ein M > 0 und alle x in denen f diffbar ist.
    (Nochmal: Das ist noch nicht piecewise smooth, weil die Funktion in a, b, c nicht einseitig diffbar sein muss.
    Dann ist f Lipschitz auf [a,b]
    Beweis:
    Seien x und y aus [a,b].
    1. Fall: x und y aus [a,c] und oBdA x < y.
    Dann |f(x) - f(y)| = |f'(xi)| * |x-y| nach Mittelwertsatz mit einem xi aus (x,y)
    <= M * |x-y|
    2. Fall: x und y aus [c,b] analog zu Fall 1.
    3. Fall: x aus [a,c] und y aus [c,b]
    |f(x)-f(y)| <= |f(x)-f(c)| + |f(c) - f(y)| <= M * |x-c| + M * |c-y| nach Fällen 1 und 2
    = M* (|x-c| + |c-y|) = M * (c-x + y-c) (da x <= c und c <= y)
    = M * (y-x) = M * |x-y|

    Das Beweisprinzip lässt sich auch auf mehr Einzelintervalle, sogar für meine Version mit abzählbar vielen Unterteilungsintervallen, anwenden.
    Geändert von SvenGlueckspilz (30. Juni 2016 um 09:02 Uhr)

  13. #13
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    danke dir. das hilft meinem verständnis sehr weiter.

    das beispiel mit sin(1/x) ist toll. so ne art von funktion war mit tatsächlich gänzlich unbekannt. die funktion wird aber (z.B. auf dem intervall (0,1)) nicht lipschitz stetig sein, allerdings ist klar, was du sagen willst.

    "muss stetig auf [-b,b] sein" ist was anderes als muss stetig auf [-b,0] und [0,b] sein" hört sich logisch an. allerdings ist die heavyside function kein gutes beispiel: die ist nicht stetig auf einem der teilintervalle (auf [-b,0] springt sie an der stelle x=0 auf 1.)



    ...immerhin war mein beweis richtig
    Geändert von FORYOUITERRA (30. Juni 2016 um 09:13 Uhr)
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  14. #14
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    Sorry, ich hab an einer Stelle Quatsch geschrieben: Die Stetigkeit auf [-b,0] und auf [0,b] impliziert sehr wohl die Stetigkeit auf [-b,b].
    Anders wäre es, wenn du nur die auf [-b,0] und die auf (0,b] behauptet hättest. Ich lösche es oben raus, damit es keiner liest und verwirrt ist

    Bei der Differenzierbarkeit ist das anders, weil es ja verschiedene einseitige Ableitungen geben kann.

    edit:
    Scheinbar liest du immer noch, was ich oben schon rausgelöscht habe, das mit der Stetigkeit war Quatsch von mir

    Zu dem Sinus nochmal: sin(1/x)-artige Funktionen habe ich ja quasi als Möglichkeit für die Ableitung ins Spiel gebracht. Und wir reden ja darüber, ob f Lipschitz ist, nicht ob f' Lipschitz ist.
    Geändert von SvenGlueckspilz (30. Juni 2016 um 10:18 Uhr)

  15. #15
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    ich glaube mein hauptoblem ist, dass mir halt nicht so ganz klar ist, was differenzierbarkeit auf (a,b) tatsächlich an den randpunkten bedeutet:

    für jedes eps>0 muss ja f(a+eps) differenzierbar sein.
    was passiert nun, wenn man eps gegen 0 gehen lässt?
    dann endet man ja doch wieder der stelle f(a) (stetigkeit der funktion auf [a,b]).

    Mein problem ist somit:
    impliziert diffbarkeit auf (a,b) nicht insbesondere, dass lim_(h->0, h>0) (f(a+h)-f(a))/h =: f'(a+) existiert (und somit auch endlich ist)?


    (edit: andererseits: stetig diffbar auf (a,b) und die rechtsseitige bzw. linksseitige ableitung existiert an den betreffenden rändern, reicht vermutlich aus um zu zeigen, dass die ableitung stetig auf ganz [a,b] ist? daraus würde dann beschränktheit der ableitung auf (a,b) folgen => letztendlich also nur eine hinreichende bedingung für deine annahme?!)
    Geändert von FORYOUITERRA (30. Juni 2016 um 15:44 Uhr)
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