Ok dann gehen wir das mal langsam durch:
f sei definiert in [a,b]. Wenn x in (a,b) ist, dann kann man ganz normal definieren: f ist in x differenzierbar genau dann wenn
lim_h->0 (f(x+h) - f(x))/h existiert (also der beidseitige Grenzwert dieses differenzenquotienten.
Kurze Notationserklärung, falls du die nicht kennst: lim_h->0+ bedeutet h strebt von rechts gegen null und lim_h->0- bedeutet h strebt von links gegen 0.
Wenn jetzt x = a, dann würde man da nur die rechtsseitige Differenzierbarkeit fordern, das heißt
dass lim_h->0+ (f(a+h) - f(a))/h existiert. Entsprechend in b nur die linksseitige, also dass lim_h->0+ (f(b+h) - f(b))/h existiert.

Man kann natürlich auch von einseitiger Differenzierbarkeit im inneren sprechen, zum Beispiel f(x) = |x| ist in x = 0 sowohl links als auch rechtsseitig diffbar, aber nicht richtig differenzierbar, da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen.

Differenzierbarkeit in (a,b) ist nicht gleichbedeutend mit differenzierbarkeit in [a,b], wie man am Beispiel f(x) = sqrt(x) sehen kann. Die ist zwar stetig in 0, differenzierbar in x > 0, aber nicht in x = 0. Die Ableitung ist allerdings in der Nähe von 0 unbeschränkt. Es gibt aber auch Beispiele, wo die Ableitung in der Nähe vom Randpunkt beschränkt bleibt, mir fällt nur gerade keins ein, wird später nachgereicht.

Es gibt auch Beispiele, dass eine Funktion auf [a,b] differenzierbar ist, die Ableitung aber unstetig ist.

Etwa f(x) = x^2 * cos(1/x) für x > 0 und f(0) = 0. Dann ist f'(x) = 2x * cos(1/x) + sin(1/x) für x > 0. In x=0 muss man es dann per Hand mit dem Differenzenquotienten ausrechnen. (f(0+h)-f(0))/h = h * cos(1/h) und das strebt gegen 0, also ist f in 0 diffbar und f'(0) = 0.
Jetzt ist also f überall differenzierbar auf [0, infty). In x = 0 ist die Ableitung aber unstetig, obwohl sie in der Nähe beschränkt ist.
Denn schauen wir uns die nochmal an: f'(x) = 2x * cos(1/x) + sin(1/x) für x > 0. Wenn jetzt x gegen 0 strebt, konvergiert der erste Term
2x * cos(1/x) gegen 0. Der zweite Term sin(1/x) hat aber keinen Grenzwert, wie ich bereits erwähnt habe. Daher existiert lim_x->0+ f'(x) nicht.
Also ist f'(x) in x = 0 unstetig.

Fun fact an der Stelle: Ableitungen haben immer die Zwischenwerteigenschaft (im Sinne vom Zwischenwertsatz), auch wenn sie nicht stetig sind.
Daher kann zum Beispiel die Heaviside-Funktion keine Stammfunktion haben, dann die hat nur die Werte 0 und 1, aber nicht die dazwischen.
Also kann die nicht Ableitung einer Funktion sein. Das ganze ist der Zwischenwertsatz von Darboux.

Zu dem was du in Klammern geschrieben hast: Erstmal sollte dir klar sein, dass
lim_(h->0, h>0) (f(a+h)-f(a))/h =: f'(a+) falsch ist, jedenfall der Definitionsdoppelpunkt.
Per Definition gilt f'(a+) = lim_x->a+ f'(x), aber lim_(h->0, h>0) (f(a+h)-f(a))/h =: f'(a). Das stimmt überein, wenn f' in a stetig ist.
Gegenbeispiel ist mein x^2 * cos(1/x) Beispiel, da existiert f'(0+) nicht.
Jetzt gibt es einen Satz, dessen Namen ich nicht kenne und ich auch nicht weiß, wo er steht, der glaube ich so lautet:
Sei f auf [a,b] definiert und f auf (a,b) differenzierbar und auf [a,b] stetig (zur Sicherheit). Wenn jetzt f' fortgesetzt werden kann zu einer stetigen Funktion g auf [a,b], dann ist f auch auf [a,b] stetig diffbar und es gilt f = g. (Insbesondere gilt dann f'(a+) = f'(a)).

Im eindimensionalen ist der Satz nicht so schrecklich relevant, interessanter ist es im mehrdimensionalen. Stell dir vor das Definitionsgebiet deiner Funktion ist etwa am Kreis. Was bedeutet dann stetige Diffbarkeit auf dem abgeschlossenen Kreis? Das mit den einseitigen Differentialquotienten ist nicht so schrecklich hilfreich hier. Stattdessen fordert man dann, dass f im inneren diffbar sein soll und dass die Ableitung gleichmäßig stetig sein soll (denn dann kann sie stetig auf den Rand fortgesetzt werden).

Ok, jetzt hast du erstmal was zu verdauen
Btw ich hoffe du hast oben meine Korrektur mitbekommen, da hatte ich an einer Stelle Quatsch erzählt.